Prueba parcial de matemática
Lógica matemática
¿QUE ES LÓGICA MATEMÁTICA?La lógica matemática o lógica simbólica es un lenguaje matemático que abarca las herramientas necesarias por medio de las cuales se puede afirmar o negar un razonamiento matemático.
Es bien conocido que en matemáticas no hay ambigüedades. Dado un argumento matemático, este es válido o simplemente no lo es. No puede ser falso y verdadero al mismo tiempo.
Un aspecto particular de las matemáticas es que posee un lenguaje formal y riguroso mediante el cual se puede determinar la validez de un razonamiento. ¿Qué es lo que hace que cierto razonamiento o cualquier demostración matemática sea irrefutable? De eso se trata la lógica matemática.
Así pues, la lógica es la disciplina de la matemática que se encarga de estudiar los razonamientos y demostraciones matemáticas, y de proporcionar las herramientas para ser capaces de inferir una conclusión correcta a partir de unas afirmaciones o proposiciones previas.
Para ello, se hace uso de axiomas y otros aspectos matemáticos que se desarrollarán más adelante.
Origen e historia
Las fechas exactas con respecto a muchos aspectos de la lógica matemática son inciertas. Sin embargo, la mayoría de las bibliografías sobre el tema remontan el origen de esta a la antigua Grecia.
Aristóteles
El comienzo del tratamiento riguroso de la lógica se atribuye, en parte, a Aristóteles, quien escribió un conjunto de obras de lógica, las cuales fueron posteriormente recopiladas y desarrolladas por diferentes filósofos y científicos, hasta la Edad Media. Esto se podría considerar como “la lógica antigua”.
Luego, en la que se conoce como la Edad Contemporánea, Leibniz, movido por un profundo deseo de establecer un lenguaje universal para razonar matemáticamente, y otros matemáticos como Gottlob Frege y Giuseppe Peano, influyeron notablemente en el desarrollo de la lógica matemática con grandes aportes, entre ellos, los Axiomas de Peano, que formulan propiedades indispensables de los números naturales.
También fueron de gran influencia en esta época los matemáticos George Boole y Georg Cantor, con contribuciones importantes en teoría de conjuntos y tablas de verdad, en las que resaltan, entre otros aspectos, el Álgebra Booleana (por George Boole) y el Axioma de Elección (por George Cantor).
También está Augustus De Morgan con las conocidas leyes de Morgan, que contemplan negaciones, conjunciones, disyunciones y condicionales entre proposiciones, claves para el desarrollo de la Lógica Simbólica, y Jhon Venn con los famosos diagramas de Venn.
En el siglo XX, aproximadamente entre 1910 y 1913, resaltan Bertrand Russell y Alfred North Whitehead con su publicación de Principia mathematica, un conjunto de libros que recopila, desarrolla y postula una serie de axiomas y resultados de lógica.
¿Qué estudia la lógica matemática?
Proposiciones
La lógica matemática inicia con el estudio de las proposiciones. Una proposición es una afirmación que sin ningún tipo de ambigüedad se puede decir si es verdadera o no. Los siguientes son ejemplos de proposiciones:
- 2+4=6.
- 52=35.
- En el año 1930 hubo un terremoto en Europa.
La primera es una proposición verdadera y la segunda es una proposición falsa. La tercera, aun cuando es posible que la persona que la lee no sepa si es verdadera o inmediatamente, es una afirmación que se puede comprobar y determinar si realmente ocurrió o no.
Los siguientes son ejemplos de expresiones que no son proposiciones:
- Ella es rubia.
- 2x=6.
- ¡Vamos a jugar!
- ¿Te gusta el cine?
En la primera proposición, no se especifica quién es “ella”, por lo tanto no se puede afirmar nada. En la segunda proposición, no se ha especificado qué representa “x”. Si en lugar se dijera que 2x=6 para algún número natural x, en este caso sí correspondería a una proposición, de hecho verdadera, ya que para x=3 se cumple.
Las últimas dos afirmaciones no corresponden a una proposición, ya que no hay manera de negarlas o afirmarlas.
Dos o más proposiciones se pueden combinar (o conectar) usando los conocidos conectivos (o conectores) lógicos. Estos son:
- Negación: “No está lloviendo”.
- Disyunción: “Luisa compró un bolso blanco o gris”.
- Conjunción: “42=16 y 2×5=10”.
- Condicional: “Si llueve, entonces no voy al gimnasio esta tarde”.
- Bicondicional: “Voy al gimnasio esta tarde si, y solo si, no llueve”.
A una proposición que no posea ninguno de los conectivos anteriores, se le llama proposición simple (o atómica). Por ejemplo, “2 es menor que 4”, es una proposición simple. Las proposiciones que posean algún conectivo se les llaman proposiciones compuestas, como por ejemplo “1+3=4 y 4 es un número par”.
Las declaraciones hechas por medio de proposiciones suelen ser largas, por lo que resulta tedioso escribirlas siempre como se ha visto hasta ahora. Por ello, se hace uso de un lenguaje simbólico. Las proposiciones se suelen representar por letras mayúsculas como P, Q, R, S, etc. Y los conectivos simbólicos de la siguiente manera:
De modo que
La recíproca de una proposición condicional
es la proposición
Y la contrarrecíproca (o contrapositiva) de una proposición
es la proposición
Tablas de verdad
Otro concepto importante en lógica es el de tablas de verdad. Los valores de verdad de una proposición son las dos posibilidades que se tiene para una proposición: verdadera (que se denotará por V y se dirá que su valor de verdad es V) o falsa (que se denotará por F y se dirá que su valor de verdad es F).
El valor de verdad de una proposición compuesta depende exclusivamente de los valores de verdad de las proposiciones simples que aparecen en ella.
Para trabajar de manera más general, no se considerarán proposiciones específicas, sino variables proposicionales p, q, r, s, etc., que representarán proposiciones cualesquiera.
Con estas variables y los conectivos lógicos se forman las conocidas fórmulas proposicionales al igual que se construyen las proposiciones compuestas.
Si cada una de las variables que aparecen en una fórmula proposicional se sustituye por una proposición, se obtiene una proposición compuesta.
A continuación se presentan las tablas de verdad para los conectivos lógicos:
Hay fórmulas proposicionales que reciben solo el valor V en su tabla de verdad, es decir, la última columna de su tabla de verdad solo posee el valor V. A este tipo de fórmulas se le conoce como tautologías. Por ejemplo:
La siguiente es la tabla de verdad de la fórmula
Se dice que una fórmula α implica lógicamente a otra fórmula β, si α es verdadera cada vez que β lo sea. Es decir, en la tabla de verdad de α y de β, las filas donde α tiene una V, β también tiene una V. Solo interesa las filas en las que α tenga el valor V. La notación para la implicación lógica es la siguiente:
La siguiente tabla resume las propiedades de la implicación lógica:
Se dice que dos fórmulas proposicionales son lógicamente equivalente si sus tablas de verdad son idénticas. Se usa la siguiente notación para expresar la equivalencia lógica:
Las siguientes tablas resumen las propiedades de la equivalencia lógica:
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